Utilisateur:Jean-Michel Tanguy/SujetENTPE2020/DE MACEDO ANGELICO // DREVON // GATOUILLAT

Bon courage et n'hésitez pas à communiquer avec moi par mail: jm.tanguy@shf-hydro.org

Mise en contexte

• Dans une situation d'urgence climatique, certains territoires ainsi que leurs populations, sont sujets à de véritables enjeux, notamment les territoires le long des côtes. En effet, les littoraux font l'objet de préoccupations majeures en ce qui concerne le devenir des populations et l'augmentation du niveau des océans. C'est pourquoi il est particulièrement intéressant de pouvoir quantifier l'impact des houles sur le territoire.
• modélisation des houles par l modèle de Berkhoff :
  

(préciser les hypothèses + écrire l'équation correspondante)

• utilisation de la méthode d'homotopie :
  

à partir d'une solution simple relativement connue, on converge vers une solution finale complète. On choisit la dérivée seconde comme fonction auxiliaire et part d'une solution initiale nulle. Introduire un paramètre p permet d'assurer la continuité de la déformation. Il existe la possibilité de résoudre les équations différentielles au moyen de logiciel de programmation.

• modélisation de la situation par un canal rectangulaire

Cas n°1

Hypothèses et conditions aux limites

On considère un domaine monodimensionnel plat de longueur L avec entrée par l'aval d'une onde de fréquence unitaire ϕ=1 et sortie libre amont ϕx=ikϕ. On impose ces 2 conditions limites en x=0. On peut montrer que cela est équivalent au cas où les 2 conditions limites sont imposées aux 2 extrémités du domaine, x=0 et x=L.

Solution analytique

Dans ce premier cas, on considère que la profondeur H est constante. On a alors l'équation de Berkhoff suivante :
$ \frac{\partial^2 Φ}{\partial x^2}+k^2Φ(x)=0 $

On calcule le discriminant $ Δ = -4k^2 $ et les racines $ r+ = ik $ & $ r- = -ik $
On obtient donc $ Φ = A*exp(-ikx) + B*exp(ikx) $

En utilisant les conditions initiales, on a :

 - $ Φ(0) = 1 $ donc $ A + B = 1 $ 

 - $ \frac{\partial^1 Φ}{\partial x^1}(x=L) = ikΦ(x=L) $ donc $ A = 0 $ 

On obtient donc finalement $ \boxed{Φ(x) = exp(ikx)} $

On peut ainsi déduire de ce résultat :

 - $ Re(Φ(x)) = cos(kx) $  

 - $ |Φ(x)| = 1 $ 

On en déduit la hauteur de houle $ \boxed{H(x) = cos(kx)} $

On peut également déduire sa variation temporelle : $ Φ(x,t) = exp(i(kx-wt)) $ d'où $ \boxed{h(x,t) = cos(kx-wt)} $

Homotopie

On a l'équation de Berkhoff suivante : $ \frac{\partial^2 Φ}{\partial x^2}+k^2Φ(x)=0 $
On obtient ainsi la relation d'homotopie suivante : $ (1-p)*(Φxx - u0xx) + p*(Φxx + k²*Φ) = 0 $
Donc $ Φxx - u0xx + p*u0xx + p*k²*Φ = 0 $

À l'ordre 0, on a :
$ Φ0xx - u0xx = 0 $ donc $ Φ0 - u0 = A*x + B $
avec $ Φ0(0) = 1 $ donc $ B = 0 $ et $ Φ0x(L) = i*k*Φ0(L) $ donc $ A = \frac{i*k}{1 - i*k*L} $
On a donc finalement $ \boxed{Φ0(x) = \frac{i*k}{1 - i*k*L}*x + 1} $

Donc : $ \boxed{h_0(x,t) = 2cos(wt)\frac{\frac{-kx}{2}+1}{\sqrt{(-kx+2)²+(kx)²}}} $

À l'ordre 1, on a :
$ Φ1xx + u0xx + k²*Φ0 = 0 $ donc $ Φ1 = A*x + B -4 - k²*{\displaystyle \textstyle \int }{\displaystyle \textstyle \int }Φ0 $
avec $ {\displaystyle \textstyle \int }{\displaystyle \textstyle \int }Φ0 = \frac{i*k}{6(1-i*k*L)}*x^3 - \frac{k²}{2)}*x² - k²*C1*x - k²*C2 $
On a finalement $ \boxed{Φ1(x) = \frac{-ik^3}{6(1-ikL)}x^3-\frac{k²}{2}x²+\frac{x}{1-ikL}(\frac{k^4L^3}{6(1-ikL)}-\frac{ik^3(5-3ikL)L²}{6}+k²L+1)+1} $

Donc : $ \boxed{h_1(x,t) = cos(wt)\frac{\frac{k^3x^3}{12}+\frac{-k²x²}{2}+\frac{2kx}{3}+\frac{x}{2}}{\sqrt{(\frac{k^3x^3}{12}+\frac{-k²x²}{2}+\frac{2kx}{3}+\frac{x}{2})²+(-\frac{k^3x^3}{12}-\frac{kx}{12}+\frac{x}{x})²}}} $

À l'ordre 2, on a :
$ Φ2xx + k²*Φ1 = 0 $ d'où $ Φ2 = A*x + B - k²*{\displaystyle \textstyle \int }{\displaystyle \textstyle \int }Φ1 $

En posant $ a = \frac{1}{1-ikL}(\frac{k^4*L^3}{6(1-ikL)}-\frac{ik^3*L^2*(5-3ikL)}{6}-k²L + 1) $ et $ b = \frac{1}{1-ikL}*(\frac{k^6*L^5}{120(1-ikL)} + ik^5*L^4*(\frac{1}{1-ikL}-\frac{1}{24}) + ikL^3*(\frac{k^3}{6} + \frac{a}{6}) + \frac{k*L^2}{2}*(i-k*a) - k²L + 1 $

On obtient $ {\displaystyle \textstyle \int }{\displaystyle \textstyle \int }Φ1 = \frac{-i*k^3}{120(1-i*k*L)}*x^5 - \frac{k²}{24}*x^4 +\frac{a}{6}*x^3 + \frac{1}{2}*x² + C1*x + C2 $
On a finalement $ \boxed{Φ2(x) = \frac{-ik^5}{120(1-ikL)}*x^5 - \frac{k^4}{24}*x^4 + \frac{a}{6}*x^3 + \frac{1}{2}*x² + b*x + 1} $

Donc : $ \boxed{h_2(x,t) = cos(wt)\frac{\frac{k^5x^5}{240}+\frac{k^4x^4}{24}+x^3(\frac{k}{18}+\frac{1}{12})+\frac{x²}{2}+x(\frac{17L}{144}-\frac{3k}{16}-\frac{L²}{12}-\frac{17k}{16}-\frac{L}{4}+\frac{1}{2})+1}{\sqrt{(\frac{k^5x^5}{240}+\frac{k^4x^4}{24}+x^3(\frac{k}{18}+\frac{1}{12})+\frac{x²}{2}+x(\frac{17L}{144}-\frac{3k}{16}-\frac{L²}{12}-\frac{17k}{16}-\frac{L}{4}+\frac{1}{2})+1)²+(\frac{-k^5x^5}{240}-\frac{13kx^3}{72}+\frac{x^3}{12}+x(\frac{L}{16}+\frac{17k}{48}-\frac{1}{4}-\frac{13k}{30}-\frac{L}{4}+\frac{1}{2}))²}}} $

Finalement, par homotopie, on obtient : $ \boxed{h(x,t) = cos(wt)\frac{\frac{-kx}{2}+1+\frac{k^3x^3}{12}+\frac{-k²x²}{2}+\frac{2kx}{3}+\frac{x}{2}+\frac{k^5x^5}{240}+\frac{k^4x^4}{24}+x^3(\frac{k}{18}+\frac{1}{12})+\frac{x²}{2}+x(\frac{17L}{144}-\frac{3k}{16}-\frac{L²}{12}-\frac{17k}{16}-\frac{L}{4}+\frac{1}{2})+1}{\sqrt{(\frac{-kx}{2}+1+\frac{k^3x^3}{12}+\frac{-k²x²}{2}+\frac{2kx}{3}+\frac{x}{2}+\frac{k^5x^5}{240}+\frac{k^4x^4}{24}+x^3(\frac{k}{18}+\frac{1}{12})+\frac{x²}{2}+x(\frac{17L}{144}-\frac{3k}{16}-\frac{L²}{12}-\frac{17k}{16}-\frac{L}{4}+\frac{1}{2})+1)^2+(kx-\frac{k^3x^3}{12}-\frac{kx}{12}+\frac{x}{x} + \frac{-k^5x^5}{240}-\frac{13kx^3}{72}+\frac{x^3}{12}+x(\frac{L}{16}+\frac{17k}{48}-\frac{1}{4}-\frac{13k}{30}-\frac{L}{4}+\frac{1}{2}))^2}}} $

Cas n°2

Hypothèses et conditions aux limites

Domaine monodimensionnel plat de longueur L avec entrée par l'aval d'une onde de fréquence unitaire et une condition de flux aval ϕx=ik(2−ϕ) et réflexion totale amont ϕx=0 .
Utilisation de la méthode standard

Solution analytique

Dans ce second cas, on considère toujours que la profondeur H est constante. On a alors la même équation de Berkhoff que dans le cas 1 :
$ \frac{\partial^2 Φ}{\partial x^2}+k^2Φ(x)=0 $

De la même façon, on obtient $ Φ = A*exp(-ikx) + B*exp(ikx) $

En utilisant les conditions initiales, on a :

 - $ \frac{\partial^1 Φ}{\partial x^1}(L) = 0 $ donc $ B = 1 $ 

 - $ \frac{\partial^1 Φ}{\partial x^1}(0) = ik*(2-Φ(0)) $ donc $ A = exp(2ikL) $ 

On obtient donc finalement $ \boxed{Φ(x) = exp(ik(2L-x)) + exp(ikx)} $

On peut ainsi déduire de ce résultat :

 - $ Re(Φ(x)) = cos(k(2L-x)) + cos(kx) $ 

 - $ |Φ(x)| = 2 + 2(cos(k(2L-x))cos(kx) + sin(k(2L-x))sin(kx)) $ 

On en déduit la hauteur de houle $ \boxed{H = \frac{cos(k(2L-x)) + cos(kx)}{2 + 2cos(2k(L-x))}} $

On peut également déduire sa variation temporelle : $ Φ(x,t) = exp(i(k(2L-x)-wt))+exp(i(kx-wt)) $ d'où $ \boxed{h(x,t) = cos(wt)*\frac{cos(k(2L-x)) + cos(kx)}{2 + 2cos(2k(L-x))} } $

Homotopie

Comme l'équation de Berkhoff est identique à celle du cas 1, la relation d'homotopie l'est également :
$ Φxx - u0xx + p*u0xx + p*k²*Φ = 0 $

À l'ordre 0, on a :
$ Φ0xx - u0xx = 0 $ donc $ Φ0 = A*x + B + 1 $ avec $ Φ0x(L) = A = 0 et Φ0x(0) = ik(2-Φ0(L)) $ donc $ B = 1 $
On a donc finalement $ \boxed{Φ0(x) = 2} $

Donc : $ \boxed{h_0(x,t) = cos(wt)} $

À l'ordre 1, on a :
$ Φ1xx + u0xx + k²*Φ0 = 0 $ donc $ Φ1 = A*x + B -1 - k²*{\displaystyle \textstyle \int }{\displaystyle \textstyle \int }Φ0 $ avec $ {\displaystyle \textstyle \int }{\displaystyle \textstyle \int }Φ0 = x² + C1*x + C2 $
En utilisant les conditions aux limites, on obtient : $ A - k²*C1 = 2Lk² $ et $ B - k²*C2 = 2 + 2ikL $
On a finalement $ \boxed{Φ1(x) = -k²*x² + 2Lk²x + 2ikL + 2 } $

Donc : $ \boxed{h_1(x,t) = cos(wt)\frac{-k²x²+2kx+2}{\sqrt{(-k²x²+2kx+2)²+ 4}}} $

À l'ordre 2, on a :
$ Φ2xx + k²*Φ1 = 0 $
donc $ Φ2 = A*x + B - k²*{\displaystyle \textstyle \int }{\displaystyle \textstyle \int }Φ1 $ avec $ {\displaystyle \textstyle \int }{\displaystyle \textstyle \int }Φ1 = \frac{-k²}{12}x^4 + \frac{2Lk²}{6}x^3 + (1+ikL)x² + C1x + C2 $
En utilisant les conditions aux limites, on obtient : $ A - k²*C1 = \frac{-k^4}{3}L^3 + k^4*L² + ikL + 1 $ et $ B - k²*C2 = L²+2 - iL(\frac{k^3}{3}L² - Lk^3 + \frac{1}{k}) $
On a finalement $ \boxed{Φ2(x) = \frac{k^4}{12}x^4 - \frac{Lk^4}{3}x^3 + (ikL+1)x² - L(\frac{k^4}{3}L² - Lk^4 + ikL + 1)x + 2 + L² - iL(\frac{k^3}{3}L² - Lk^3 + \frac{1}{k})}( $

Donc : $ \boxed{h_2(x,t) = cos(wt)\frac{\frac{k^4x^4}{12}-\frac{k^3x^3}{3}+x²-x(\frac{k}{3}-k²+L)+2+L²}{\sqrt{(\frac{k^4x^4}{12}-\frac{k^3x^3}{3}+x²-x(\frac{k}{3}-k²+L)+2+L²)²+(x²-L+k-L²-\frac{1}{3})²}}} $

Finalement, par homotopie, on obtient : $ \boxed{h(x,t) = cos(wt)\frac{1+-k²x²+2kx+2+\frac{k^4x^4}{12}-\frac{k^3x^3}{3}+x²-x(\frac{k}{3}-k²+L)+2+L²}{\sqrt{(1+-k²x²+2kx+2+\frac{k^4x^4}{12}-\frac{k^3x^3}{3}+x²-x(\frac{k}{3}-k²+L)+2+L²)^2+(4+x²-L+k-L²-\frac{1}{3})^2}}} $

Cas n°3

Hypothèses et conditions aux limites

Domaine monodimensionnel de longueur L avec pente du fond constante avec entrée par l'aval d'une onde de fréquence unitaire ϕ=1 sortie libre amont ϕx=ikϕ
On considèrera que le nombre d'onde k est constant.

Solution analytique

On considère que la profondeur H(x) est linéaire de pente a : $ H(x) = H_0 - ax $
On obtient alors l'équation de Berkhoff suivante : $ (H_0 - ax)\frac{\partial^2 Φ}{\partial x^2} - a\frac{\partial Φ}{\partial x} + k²(H_0 - ax)Φ = 0 $
Pour la résoudre, on effectue le changement de variable $ X = \frac{k}{a}(H_0 - ax) $
On obtient alors l'équation de Bessel suivante : $ X²\frac{\partial^2 Φ}{\partial x^2} + X\frac{\partial Φ}{\partial x} + X²Φ = 0 $

La solution est donc de la forme $ Φ(X) = A*J_0(X) + B*Y_0(X) $ où $ J_0 $ est la fonction de Bessel de première espèce et $ Y_0 $ la fonction de Bessel de seconde espèce.
En utilisant les conditions aux limites et en posant $ X_0 = \frac{k}{a}H_0 $ et $ X_L = \frac{k}{a}(H_0 - aL) $, on obtient :
$ A = \frac{aY_1(X_L)+bY_0(X_L)+i(aY_0(X_L)-bY_1(X_L))}{a²+b²} $ et $ B = \frac{aJ_1(X_L)+bJ_0(X_L)+i(aJ_0(X_L)-bJ_1(X_L))}{a²+b²} $
avec $ a = J_1(X_L)Y_0(X_0)-J_0(X_0)Y_1(X_L) $ et $ b = J_0(X_L)Y_0(X_0)-J_0(X_0)Y_0(X_L) $

On obtient donc $ \boxed{Φ(x,t) = (AJ_0(\frac{k}{a}(H_0 - ax)) + BY_0(\frac{k}{a}(H_0 - ax)))e^{-iwt}} $

On peut donc conclure avec l'évolution temporelle de la hauteur de houle $ \boxed{h(x,t) = cos(wt)\frac{\frac{aY_1(X_L)+bY_0(X_L)}{a²+b²}J_0(\frac{k}{a}(H_0 - ax)) + \frac{aJ_1(X_L)+bJ_0(X_L)}{a²+b²}Y_0(\frac{k}{a}(H_0 - ax))}{\sqrt{(\Re(A)J_0(\frac{k}{a}(H_0-ax))+\Re(B)Y_0(\frac{k}{a}(H_0-ax)))^2+(\Im(A)J_0(\frac{k}{p}(H_0-ax))+\Im(B)Y_0(\frac{k}{a}(H_0-ax)))^2}}} $

Homotopie

En posant $ e = \frac{a}{H_0} $, on obtient la relation d'homotopie suivant : $ Φxx - pe*x*Φxx - pe*Φx + pk²(1-e*x)Φ = 0 $

À l'ordre 0, on a :
$ Φ0xx = 0 $ donc $ Φ0 = A*x + B $ avec $ Φ0(0) = 1 = B et Φ0x(L) = ikΦ0(L) $ donc $ A = \frac{ik}{1-ikL} $
On a donc finalement $ \boxed{Φ0(x) = \frac{ik-k²L}{1+(kL)²}x + 1} $

Donc : $ \boxed{h_0(x,t) = 2cos(wt)\frac{\frac{-kx}{2}+1}{\sqrt{(-kx+2)²+(kx)²}}} $

À l'ordre 1, on a :
$ Φ1xx - ex*Φ0xx - eΦ0x + k²(1-ex)Φ0 = 0 $. Posons $ \alpha = \frac{ik-k²L}{1+(kL)²} $ et $ \gamma = i\alpha = \frac{-k-ik²L}{1+(kL)²} $
On a $ \boxed{Φ1(x) = Ax + B + k²e\alpha\frac{x^4}{12} - k²(\alpha + e)\frac{x^3}{6} + (e\alpha - k²)\frac{x²}{2}} $

avec $ B = 1 $ et $ A = \frac{12+e\gamma*k^3L^4+6k(e\gamma-ik²)L²-4k^2e\alpha*L^3+6k²(\alpha+e)L²-12(e\alpha-k²)L+kL(12i-k^3eL^4\alpha+2k^3(\alpha+e)L^3+6k(k²-e\alpha)L²-4k²e\gamma*L^3+6k²(\gamma+ie)L^3-12(e\gamma+ik²)L²)}{12(1+(kL)²)} $

Donc : $ \boxed{h_1(x,t) = cos(wt)\frac{\frac{ek^3x^4}{24}-\frac{k^3x^3}{12}+\frac{ekx^2}{4}+(-\frac{e}{8}+\frac{Le}{4}-\frac{5e}{12}-\frac{1}{8}-\frac{5k}{24}+\frac{Le}{4})x}{\sqrt{(\frac{ek^3x^4}{24}-\frac{k^3x^3}{12}+\frac{ekx^2}{4}+(-\frac{e}{8}+\frac{Le}{4}-\frac{5e}{12}-\frac{1}{8}-\frac{5k}{24}+\frac{Le}{4})x)²+(\frac{-ek^3x^4}{24}+x^3(\frac{k^3}{12}-\frac{ek^2}{6})+x^2(\frac{-k^2}{2}-\frac{ek}{4})+x(\frac{-e}{8}+\frac{eL}{4}+\frac{13e}{24}-\frac{1}{8}+\frac{17k}{24}+\frac{e}{12}+\frac{1}{2})+1)²}}} $

Finalement, par homotopie, on obtient : $ \boxed{h(x,t) = cos(wt)\frac{\frac{-kx}{2}+1+\frac{ek^3x^4}{24}-\frac{k^3x^3}{12}+\frac{ekx^2}{4}+(-\frac{e}{8}+\frac{Le}{4}-\frac{5e}{12}-\frac{1}{8}-\frac{5k}{24}+\frac{Le}{4})x}{\sqrt{(\frac{-kx}{2}+1+\frac{ek^3x^4}{24}-\frac{k^3x^3}{12}+\frac{ekx^2}{4}+(-\frac{e}{8}+\frac{Le}{4}-\frac{5e}{12}-\frac{1}{8}-\frac{5k}{24}+\frac{Le}{4})x)^2+(kx+\frac{-ek^3x^4}{24}+x^3(\frac{k^3}{12}-\frac{ek^2}{6})+x^2(\frac{-k^2}{2}-\frac{ek}{4})+x(\frac{-e}{8}+\frac{eL}{4}+\frac{13e}{24}-\frac{1}{8}+\frac{17k}{24}+\frac{e}{12}+\frac{1}{2})+1)^2}}} $

Cas n°6

Hypothèses et conditions aux limites

On étudie cette fois un domaine bidimensionnel avec une bosse immergée parabolique sur le fond. On mènera l'étude en coordonnées polaire et cartésienne.

Solution analytique

La solution analytique étant difficile à obtenir, on applique à la place la méthode d'homotopie qui permettra quant à elle d'obtenir une approximation analytique.

==== Homotopie
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